Matematiska metoder för Ellipsomkrets

Att beräkna omkretsen av en ellips är mer komplex än att beräkna den för en cirkel eftersom radien varierar vid varje punkt längs kurvan. Noggrann mätning kräver identifiering av längden på de två primära axlarna.

Halvhuvudaxel (a): Det längsta avståndet från mitten till ellipsens omkrets.
Halv-mollaxel (b): Det kortaste avståndet från mitten till ellipsens omkrets.

Steg för att bestämma omkretsen

Placera mittpunkten på ellipsen där de två axlarna skär varandra.
Mät avståndet från centrum till vertex längs långaxeln för att hitta värdet a.
Mät avståndet från centrum till bivertex längs den korta axeln för att hitta värdet b.
Välj en matematisk formel baserat på den nödvändiga precisionsnivån och formens excentricitet.
Sätt in de uppmätta värdena i formeln och lös ekvationen för att hitta det totala avståndet.

Ellipsperimeteruppskattningsmodeller

Metodnamn	Beräkningssvårigheter	Relativ felmarginal
Enkel Root Mean Square	Låg	Upp till 10 % för mycket långsträckta former
Ramanujan Approximation	Moderat	Extremt låg för de flesta dimensioner
Oändlig serieexpansion	Hög	Noll (konvergerar till det exakta värdet)

Den vanligaste enkla approximationen använder kvadratroten ur genomsnittet av kvadraterna: Omkrets ≈ 2π × √((a² + b²) / 2). Denna formel är effektiv för ellipser som är nästan cirkulära men tappar noggrannhet när formen blir tunnare.

Om ellipsen är en perfekt cirkel är värdena för a och b lika. I det här scenariot förenklas alla approximationsformler till standardformeln för cirkelomkrets: 2πr.

För vetenskapliga eller tekniska tillämpningar används Ramanujan-formeln ofta: P ≈ π [ 3(a + b) - √((3a + b)(a + 3b)) ]. Detta ger ett mycket exakt resultat för en mängd olika axelförhållanden utan komplexiteten i kalkyl. För ett exakt värde måste matematiker använda kompletta elliptiska integraler av det andra slaget, som vanligtvis löses med hjälp av specialiserad programvara eller omfattande tabeller.